Родился 15 мая 1925 года (г. Козьмодемьянск Марийская Республика).
Отец, Яков Андреевич Эшпай (1890-1963), композитор, музыковед-фольклорист, хормейстер и педагог, создатель первых марийских инструментальных произведений для симфонического, духового оркестров, оркестра народных инструментов, для скрипки и фортепиано, большого числа сольных и хоровых вокальных сочинений.
Подлинным примером служения искусству является подвижнический труд Я. Эшпая по записи и обработке народных мелодий (свыше 500 записей).
Свое научное исследование он посвятил народным инструментам, защитил диссертацию и был удостоен ученой степени кандидата искусствоведения.
За заслуги перед Родиной Я.А. Эшпай награжден орденами Красной Звезды (1946) и "Знак Почета" (1951), двумя медалями.
В память о своем выдающемся музыканте марийский народ установил на его родине в селе Кокшамары мемориальную доску, присвоил его имя одной из центральных улиц столицы республики, города Йошкар-Олы.
Мать Андрея Эшпая, Валентина Константиновна (1898-1982), учительница русского языка и литературы, знаток родных русских песен, а также марийских, чувашских, мордовских, которые с юности пела в учительском хоре.
Она — племянница композитора А.Н. Тогаева, жившего в Мариинском Посаде (Чувашия), в доме которого и познакомились будущие родители А. Эшпая.
Супруга, Александра Михайловна, пианистка, много лет была заведующей фортепианным отделом издательства "Композитор". Дети: Валентин — научный работник Института Кино, Андрей (младший) — режиссер на киностудии имени М. Горького.
Путь Андрея Яковлевича к музыке был не легок. После окончания школы, юноша отправляется на фронт и становиться фронтовым разведчиком.
Боевой путь отважного разведчика лейтенанта Андрея Эшпая отмечен государственными наградами: орденом Красной Звезды, медалями "За освобождение Варшавы", "За взятие Берлина", "За победу над Германией", польской медалью "За Варшаву, 1939-1945 гг."
Именно на фронте А. Эшпай осознал свое призвание, почувствовал неодолимую тягу к творчеству.
В 1948 году Андрей поступил в Московскую консерваторию. За год до окончания консерватории, в 1952 году, Андрей Эшпай был принят в Союз композиторов СССР и стал одним из самых молодых его членов.
На конкурсе молодых композиторов VI Всемирного фестиваля молодежи и студентов в Москве (1957) Скрипичный концерт Эшпая был удостоен первой премии.
К бесспорным достижениям Эшпая относится его эпохальная Симфоническая картина "Переход Суворова через Альпы", прозвучавшая на XIX Международном фестивале современной музыки в Москве (ноябрь 1997).
Эшпай даже был у Чертова Моста, на перевале в Альпах — в настоящей природной ловушке, сам слышал страшный гул из бездны коварного ущелья, почти воочию увидел тот опаснейший путь, который избрал Суворов, чтобы уберечь от погибели армию.
И композитор запечатлел то, что прочувствовал.
На протяжении всей своей жизни в искусстве Эшпай пишет киномузыку. Он — автор музыки более чем к шестидесяти кино— и телефильмам, поставленным на разных студиях страны.
Особенно плодотворным было его сотрудничество с режиссерами А. Салтыковым ("Бабье царство", "Директор", "И был вечер, и было утро", "Сибирячка", "Возврата нет", "Семья Ивановых", "Емельян Пугачев", "Путь в бессмертие"); Е. Ташковым ("Страницы былого", "Жажда", "Приходите завтра", "Майор Вихрь", "Адъютант его превосходительства", "Дети Ванюшина", "Преступление"); В. Левиным ("Повесть о первой любви", "Сильнее урагана", "Долгий путь в лабиринте"); В. Жилиным ("Исправленному верить", "Водил поезда машинист").
Три последние работы в кино: фильм режиссера В. Пендраковского "Я свободен, я ничей" с прекрасными актерами Н. Руслановой и В. Гафтом в главных ролях, детский фильм "Лиза и Элиза" режиссера А. Згуриди и триллер "Умирать легко" режиссера А. Хвана.
Интересна музыка Эшпая к театральным постановкам (их около 20): "Опасный возраст" (с песней Марфиньки — "То ли встречу, то ль не встречу..." — на стихи В. Котова) и "Вам двадцать два, старики" (постановка обоих спектаклей С. Штейна, Ленком); "Волшебники живут рядом" (постановка А. Тутышкина, театр миниатюр под руководством А. Райкина); "Теория невероятности" (режиссеры В. Комиссаржевский, Я. Губенко, театр имени Ермоловой); "Малыш и Карлсон, который живет на крыше" (постановка М. Микаэлян) и "Обыкновенное чудо" (руководитель постановки В. Плучек, режиссер М. Микаэлян, театр Сатиры).
Андрей Эшпай — Почетный гражданин городов Козьмодемьянска и Йошкар-Олы, а с 1979 года — Почетный член Общества Ф.Листа в США. Он — президент Российского авторского общества.
А. Эшпаю присвоено звание "Народный артист СССР" (1981), он удостоен Ленинской премии (1986) за Концерт для гобоя с оркестром и "Песни горных и луговых мари" и Государственной премии СССР (1976) за Второй фортепианный концерт.
За заслуги перед Отечеством в мирное время он награжден орденами Ленина (1985), Трудового Красного Знамени (1971), Отечественной войны II степени (1985), "Знак Почета" (1967).
